Профильная схема хранения матрицы

Профильная схема хранения матрицы
Профильная схема хранения матрицы
Профильная схема хранения матрицы
Профильная схема хранения матрицы

тричной матрицы ценное свойство симметрии будет сохранено, если для столбцов и строк используются одинаковые перестановки. Алгоритмы, уменьшающие ширину ленты, обсуждаются в гл. 4.

Если система линейных уравнений имеет ленточную матрицу коэффициентов н решается посредством гауссова исключения, причем главные элементы выбираются на главной диагоналя, то вся арифметика ограничена лентой, вне которой никаких новых ненулевых элементов не возникает. Гауссово исключение можно проводить кна месте», поскольку для любого ненулевого элемента, если он появится, уже зарезервнрована позиция в схеме хранения.

Собственные значения н собственные векторы ленточной матрицы, более того, собственные значения и собственные векторы обобщенной спектральной задачи с двумя ленточными матрицами одинаковой ширины, можно вычислить, не используя дополнительную память '). Это утверждение будет разъяснено в гл. 6.

1.б. ПРОФИЛЬНАЯ СХЕМА ХРАНЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ

Ленточная матрица высокого порядка может иметь широкую ленту н большое число нулей внутри ее. Для такой матрицы диагональная схема может быть очень неэкономной. Дженнингс (оепп)пйз, 19661 предложил более эффективную схему хранения симметричных матриц, и она вследствие своей простоты стала весьма популярной. Называется она профильной схемой '), или схемой переменной дямпчы. Для каждой строки 1 симметричной матрицы А положим

Ь = з — I ° (1).

где /мж (1) — минимальный столбцовый индекс строки 1, для которого аы О. Таким образом, первый ненулевой элемент строки 1 находится на ()«позиций левее главной диагонали. Определенная в й 1.6 полуширина ленты () есть просто шах (()«).

Оболочка матрицы А — это множество элементов агь для которых О <1 — / ()«. В строке 1 оболочке принадлежат все элементы со столбцовыми индексами от)' ж (г) доз — 1, всего элементов. Диагональные элементы не входят в оболочку. Про(йидв матрицы А определяется как число элементов в оболочке:

ргоВ1е (А) = ()г.

>) Имеется в виду: помимо памяти, нужной ддя хранения самих собственных значений и векторов. — Прин. иерее.

') В оригинале — епче1оре зсЬете, т. е. буквально «сбодочечнзя схема>. Вследствие рззьясняемой ниже тесной связи между понятиями ободочки и профиля мы сочли возможным взменить букввдьный перевод бодее коротким термином. — Прим. иерее.

спрятать [X]

При использовании схемы Дженнингса все элементы оболочки, упорядоченные по строкам, хранятся, включая нули, в одномерном массиве, скажем А)ь). Диагональный элемент данной строки помещается в ее конец '). Длина массива АХ равна сумме профиля и порядка А. Необходим еще массив указателей, назовем его 1А; элементы этого массива суть указатели расположения диагональных элементов в А)ь). Так, при г ) 1 элементы строки 1 находятся в позициях от 1А 1! — 1) + 1 до 1А (!). Единственный элемент аы 1-й строки хранится в А)ь) (1). Элементы имеют последовательные легко вычисляемые столбцовые индексы. Например, для матрицы на рис. 1.2!а) профиль равен 7, а профильная схема выглядит так:

позиция = ! г З 4 З е Г а Э !О !! !г !З Ы

А)ь) = 1. 2. 8. 3. 9. О. 4. 1О. 6. 11. 6. 12. О. 7.

1А = 1 2 4 7 9 11 14

Возможен вариант схемы Дженнингса с хранением оболочки по столбцам. Поскольку теперь столбцы матрицы сохраняют свои длины, эту схему часто называют вертикальной '). Упомянем еще одно полезное понятие, используемое при конструировании схем хранения симметричных матриц. Рассмотрим строку г матрицы А. Будем говорить, что столбец А ! ) 1, актиагы в этой строке, если он содержит ненулевой элемент в строке 1 или выше ее. Пусть ыг — число столбцов, активных в строке 1. Тогда шах ыг

! называют волновым фронтом или шириной фронта А (см., например, [Сп!)з)!1, 19721). В примере на рис. 1.2 (а) столбец 4 активен в строке 3, а ширина фронта А равна 2.

Как и в случае ленточных матриц, профиль обычно меняется при перестановках строк и столбцов. Меньший профиль означает меньшую память и меньшее число операций в вычислениях, выполняемых с матрицей, поэтому алгоритмы минимизации профиля играют важную роль в технологии разреженных матриц. Они обсуждаются в $ 4.6,

Рассматривая элементы, заключенные в оболочке, можно заметить, что в гауссовом исключении значение 9, для каждой строки не изменится, если главные элементы выбирать на главной диагонали. Новые ненулевые элементы не могут возникнуть в позициях, внешних для оболочки. Они могут появиться внутри оболочки, где уже заготовлено место для них; отсюда следует, что исключение можно проводить при статической схеме хранения. Это важное свойство было исходной мотивировкой для схемы

') Возможно хранение диагональных елементон отдельным масснеом — см.

1Оеогпе, ЬЬ, !За!1. — Прим. нерее. ° ) В оригинале — ахуппе е)отаве. — Прим. нерее.

спрятать [X]

Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы Профильная схема хранения матрицы

Изучаем далее:



Схема подключения лампы через трансформатор

Поэтапное описание прически на длинные волосы6

Как сделать за платку на сумке

Как скинуть поздравление в контакте

Сшить дорожную косметичку своими руками выкройки6
Читать новость Профильная схема хранения матрицы фото. Поделитесь новостью Профильная схема хранения матрицы с друзьями!